Cálculo diferencial En matemática, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.
Integral de Lebesgue
En matemática, la integracion de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos.
Introducción
La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero... ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de "área bajo la curva" tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.
Teoría de la medida
Inicialmente la teoría de la medida fue creada para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de los subconjuntos de puntos de la recta real, de forma más general, area y volumen de subconjuntos de espacios euclideos. En especial, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a cuales subconjuntos de R se les puede asociar una longitud?. Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, realmente es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se cumplan algunas propiedades de invariancia por traslación y aditividad de conjuntos (conjuntos no medibles).
Naturalmente, la integral de Riemann usa implícitamente el concepto de longitud. Un elemento básico de este tipo de integral son los rectángulos de base [a,b]x[c,d] cuya longitud es (b - a) y su area es (b-a)·(d-c).
En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) usan el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto E que satisface una lista de propiedades.
Integración de Lebesgue Consideremos μ una medida no negativa sobre σ-algebra X de subconjuntos de E. Por ejemplo, E puede ser un espacio euclídeo n dimensional Rn o algún subconjunto medible de él, X puede ser el σ-algebra de todos los subconjuntos medibles de E, y μ puede ser la medida de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad μ puede ser una función de probabilidad sobre un espacio de probabilidad E.
Naturalmente, la integral de Riemann usa implícitamente el concepto de longitud. Un elemento básico de este tipo de integral son los rectángulos de base [a,b]x[c,d] cuya longitud es (b - a) y su area es (b-a)·(d-c).
En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) usan el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto E que satisface una lista de propiedades.
Integración de Lebesgue Consideremos μ una medida no negativa sobre σ-algebra X de subconjuntos de E. Por ejemplo, E puede ser un espacio euclídeo n dimensional Rn o algún subconjunto medible de él, X puede ser el σ-algebra de todos los subconjuntos medibles de E, y μ puede ser la medida de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad μ puede ser una función de probabilidad sobre un espacio de probabilidad E.
